Субашич начинал играть в родном "Задаре", которому в 2007 году помог вернуться в высшую хорватскую лигу. Отлично провел следующий сезон и был перекуплен хорватским грандом - "Хайдуком" из Сплита, в составе которого постоянно играл в еврокубках. Осенью 2010 года сыграл против "Зенита" (0:2, 2:3) в Лиге Европы, парировав во втором матче пенальти от Алессандро Розины.

Первым зарубежным клубом Субашича неожиданно стал "Монако", куда Даниэль отправился прошлой зимой и стал основным голкипером. С 2009 года Субашич регулярно вызывается в сборную, однако постоянно находился в тени Стипе Плетикосы и Ведрана Рунье, который начинал отборочный цикл. Субашич же свой шанс воспользоваться простоем Плетикосы упустил, получив травму, хотя в последних матчах страховал Стипе со скамейки запасных.